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技术博客：多个算法题解析

问题概述

本文将围绕几个经典算法问题展开详细解析，涵盖图论、线段树和分组背包等多个领域。每个问题都配有相关代码和解释，供开发者参考。

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A. 费用流问题

问题：费用流图中，某些节点无法连接，如何判断其是否为强连通图？

解答：

要使图成为强连通图，需确保所有节点至少有一个入度和出度。最少需要添加的边数等于最大值——入度为零的节点数或出度为零的节点数。

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B. 图论扩展问题

问题：给定一个图，至少添加多少条边才能使其成为强连通图？

解答：

强连通图要求每个节点至少有一个入度和出度。最少需要添加的边数等于最大值——入度为零的节点数或出度为零的节点数。

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C. 线段树区间合并

代码示例：

#include 
   
    
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
int a[N];
int sub[N << 2], l_val[N << 2], r_val[N << 2], l_sub[N << 2], r_sub[N << 2];
void up(int o, int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    l_val[o] = l_val[ls], r_val[o] = r_val[rs];
    sub[o] = max(sub[ls], sub[rs]);
    if (r_val[ls] < l_val[rs]) {
        sub[o] = max(sub[o], r_sub[ls] + l_sub[rs]);
    }
    l_sub[o] = l_sub[ls];
    if (l_sub[o] == len - len/2 && r_val[ls] < l_val[rs]) {
        l_sub[o] += l_sub[rs];
    }
    r_sub[o] = r_sub[rs];
    if (r_sub[o] == len/2 && r_val[ls] < l_val[rs]) {
        r_sub[o] += r_sub[ls];
    }
}
void build(int o, int l, int r) {
    if (l == r) {
        sub[o] = l_sub[o] = r_sub[o] = 1;
        l_val[o] = r_val[o] = a[l];
        return;
    }
    build(lson);
    build(rson);
    up(o, l, r);
}
void update(int o, int l, int r, int pos, int x) {
    if (l == r) {
        l_val[o] = r_val[o] = x;
        return;
    }
    if (pos <= t_mid) update(lson, pos, x);
    else update(rson, pos, x);
    up(o, l, r);
}
int query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (l == ql && r == qr) return sub[o];
    int ans = 0;
    if (qr <= t_mid) ans = query(lson, ql, qr);
    else if (ql > t_mid) ans = query(rson, ql, qr);
    else {
        ans = max(query(lson, ql, t_mid), query(rson, t_mid+1, qr));
        if (r_val[ls] < l_val[rs]) {
            ans = max(ans, min(r_sub[ls], t_mid - ql + 1) + min(l_sub[rs], qr - t_mid));
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d %d", &T, &n);
    while (T--) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", a + i);
        }
        build(1, 1, n);
        while (q--) {
            char s[5];
            int x, y;
            scanf("%s %d %d", s, x, y);
            if (s[0] == 'U') update(1, 1, n, x+1, y);
            else printf("%d\n", query(1, 1, n, x+1, y+1));
        }
    }
    return 0;
}
   

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D. 分组背包问题

问题：每组选择一个项目后，允许从之前组转移或内部转移，求最优解。

解决方案：

使用动态规划解决，状态定义为 dp[i][mask] 表示前 i 组处理后，已选项目的 mask 集合。每个状态更新策略包括从上一组转移或内部转移。

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E. 整数分割问题

问题：给定数列，求最优分割方式。

解决方案：

采用暴力枚举或动态规划解决。需注意贪心策略不一定最优，需比较所有可能方案。

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结语

以上问题均已得到详细解答，代码和解释供开发者参考。如需进一步讨论或优化，请随时联系作者。

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